Experimentação Agrícola - 06
Panosso A.R.
28/09/2020
6 DESDOBRAMENTO DE GRAUS DE LIBERDADE DE TRATAMENTOS
6.1 INTRODUÇÃO
Quando planejamos um experimento, normalmente, o fazemos de tal forma que o mesmo nos forneça respostas a uma série de perguntas. Então, com um único experimento, o pesquisador deseja testar várias hipóteses relacionadas com os efeitos dos tratamentos utilizados. Isso pode ser feito, decompondo-se os graus de liberdade de tratamentos, isolando-se o efeito devido a cada um dos graus de liberdade, ou então, a cada grupo de graus de liberdade.
Conforme vimos, quando efetuamos a análise de variância pelo teste F, trabalhando com todos os tratamentos, obtemos informações muito mais gerais, relacionadas com o comportamento dos tratamentos como um todo. Por meio do desdobramento ou decomposição dos graus de liberdade de tratamentos, podemos obter informações muito mais específicas, relacionadas com o comportamento de cada um dos componentes do desdobramento.
Além disso, após a decomposição dos graus de liberdade de tratamentos, podemos aplicar o teste F a cada um dos componentes do desdobramento.
Essa técnica baseia-se na utilização de contrastes, sendo necessário que os contrastes correspondentes aos componentes do desdobramento sejam ortogonais entre si. Isto significa que os componentes do desdobramento devem ser independentes.
Uma vez que desejamos aplicar o teste F a cada um dos componentes do desdobramento, cada componente deve possuir uma estimativa de variância, e portanto, devemos decompor a soma dos quadrados de tratamentos em partes atribuídas a cada um dos componentes do desdobramento.
Então, podemos dizer que o desdobramento dos graus de liberdade de tratamentos é uma técnica semelhante à da análise de variância, que nos permite fazer partições dos graus de liberdade e da soma de quadrados de tratamentos em partes atribuídas a vários componentes independentes, sendo que cada um dos componentes deverá nos proporcionar uma estimativa de variância.
Existem dois métodos que nos permitem calcular as somas de quadrados correspondentes a cada um dos componentes do desdobramento:
- Método dos contrastes de totais de tratamentos.
- Métodos dos totais de tratamentos, sem utilizar contraste.
O procedimento utilizado para o desdobramento dos graus de liberdade de tratamentos será apresentado por meio de um exemplo numérico.
6.2 OBTENÇÃO DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA COM DESDOBRAMENTO DOS GRAUS DE LIBERDADE DE TRATAMENTOS
Vamos considerar os dados do trabalho “Ação de microrganismos do solo sobre o desenvolvimento de mudas de Eucalyptus grandis Hill Ex Maiden em tubetes” (Korari, 1990), realizado no delineamento inteiramente casualizado, com 5 tratamentos e 5 repetições. Os tratamentos utilizados foram:
ST - Solo rizosférico de Paspalum notatum (grama batatais)
AC - Cultura de Azotobacter chroococcum
AP - Cultura de Azotobacter paspali
PM - Cultura de Azotobacter paspali morta
T - Testemunha
Os resultados obtido para a altura média das mudas de Eucalyptus grandis (cm), 105 dias após a inoculação foram os seguintes.
## Warning: package 'kableExtra' was built under R version 4.0.2| Tratamentos | Rep.1 | Rep.2 | Rep.3 | Rep.4 | Rep.5 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 - ST | 25.6 | 25.48 | 25.06 | 20.58 | 19.02 | 115.74 |
| 2 - AC | 27.2 | 21.57 | 23.61 | 24.89 | 20.27 | 117.54 |
| 3 - AP | 25.36 | 31.07 | 27.3 | 18.93 | 18.09 | 120.75 |
| 4 - PM | 17.97 | 19.07 | 15.94 | 16.46 | 16.44 | 85.88 |
| 5 - T | 18.92 | 16.07 | 14.5 | 20.17 | 22.27 | 91.93 |
| Total | 531.84 |
Inicialmente, devemos fazer a análise de variância, denominada de análise de variância preliminar, de acordo com o delineamento inteiramente casualizado. Assim, temos:
Cálculo das Somas de Quadrados:
a)Soma de quadrados Total:
\[ SQ_{Total} = \sum_{i=1}^I\sum_{j=i}^Jx_{ij}^2 - C \\ SQ_{Total} = \sum_{i=1}^I\sum_{j=i}^Jx_{ij}^2 - \frac{G^2}{IJ} \\ SQ_{Total} = (25,60^2+25,48^2+...+22,27^2) - \frac{531,84^2}{5\cdot5}\\ SQ_{Total} = 447,1366 \]
b) Soma de quadrados de Tratamentos:
\[ SQ_{Trat} = \frac{\sum_{i=1}^IT_i^2}{J} - C \\ SQ_{Trat} = \frac{T_1^2+T_2^2+...+T_I^2}{J} - \frac{G^2}{IJ}\\ SQ_{Trat} = \frac{115,74^2+117,54^2+...+91,93^2}{5} - \frac{531,84^2}{5\cdot5}\\ SQ_{Trat} = 209,5408 \]
c) Soma de Quadrado de Resíduo:
\[ SQ_{Res} = SQ_{Total} - SQ_{Trat} \\ SQ_{Res} = 447,1366- 209,5408 = 237,5958 \] Então, podemos montar o seguinte quadro de análise de variância:
| Causas.de.Variação | GL | SQ | QM | F |
|---|---|---|---|---|
| Tratamento | 4 | 209,5408 | 52,3852 | 4,41* |
| Resíduo | 20 | 237,5958 | 11,8798 | – |
| Total | 24 | 447,1366 | – | – |
Valores de F da tabela para (4 x 20 GL):\(\begin{cases} 5\%=2,87 \\ 1\%=4,43 \end{cases}\)
Conclusão: O teste F foi significativo ao nível de 5% de probabilidade, indicando que devemos rejeitar \(H_0\) e concluir que os tratamentos possuem efeitos diferentes sobre a altura média de mudas de Eucalypto, com um grau de confiança de \(95\%\) de probabilidade.
Podemos notar que esta é uma conclusão muito geral, relacionada com o efeito dos tratamentos como um todo, nada nos dizendo com relação à comparação entre os tratamentos. Para a obtenção de informações mais específicas, podemos proceder à decomposição dos graus de liberdade de tratamentos.
Para desdobrar os graus de liberdade de tratamentos, devemos, inicialmente, estabelecer os componentes do desdobramento, de tal forma que as comparações sejam de interesse prático, e os contrastes correspondentes aos componentes do desdobramento sejam ortogonais entre si.
Assim, no nosso exemplo, podemos proceder ao seguinte desdobramento:
1 - (ST+AC+AP) vs. (PM+T)……….1 GL
2 - ST vs. (AC+AP)…………………1 GL
3 - AC vs. AP………………………..1 GL
4 - PM vs. T………………………….1 GL
Sendo a técnica do desdobramento de graus de liberdade de tratamentos, baseada em contrastes ortogonais, devemos estabelecer os contrastes de totais de tratamentos correspondentes à cada componente do desdobramento:
\[ Y_1 = 2T_1+2T_2+2T_3-3T_4-3T5\\ Y_2 = 2T_1-T_2-T_3+0T_4+0T5\\ Y_3 = 0T_1+T_2-T_3+0T_4+0T5\\ Y_4 = 0T_1+0T_2+0T_3+T_4-T5 \]
Note que os contrastes são ortogonais entre si, uma vez que são ortogonais dois a dois.
Para o cálculo das somas de quadrados correspondentes a cada componente do desdobramento, podemos utilizar um dos dois métodos seguintes
6.2.1. MÉTODO DOS CONTRASTES DE TOTAIS DE TRATAMENTOS
Para aplicação deste método, devemos, inicialmente, estabelecer os contrastes correspondentes a cada um dos componentes do desdobramento, tomando-se o cuidado de trabalhar com contrastes ortogonais entre si. Esses contrastes diferem dos que utilizamos normalmente, por serem funções lineares de totais de tratamentos e não de médias de tratamentos.
Vejamos então, como procedemos para calcular a soma de quadrados correspondente a um determinado componente do desdobramento, conhecendo-se o seu contraste.
Se tivermos um contraste de totais de tratamento, da forma genérica:
\[ Y=c_1T_1+c_2T_2+...+c_IT_I \]
onde, \(\sum_{i=1}^Ic_i=0\), e cuja estimativa é dada por:
\[ \hat{Y}=c_1\hat{T_1}+c_2\hat{T_2}+...+c_I\hat{T_I} \]
a soma de quadrados correspondente é obtida por:
\[ SQY=\frac{\hat{Y^2}}{r\sum_{i=1}^Ic_i^2} \] em que:
\(\hat{Y}\) é a estimativa do contraste, \(r\) é o número de repetições com que foram obtidos os totais de tratamentos. \(c_i\) é o coeficiente do total do tratamento \(i\) no contraste.
No nosso exemplo, os contrastes de totais de tratamentos já foram estabelecidos, de modo que podemos passar ao cálculo das somas de quadrados:
a) Cálculo da soma de quadrados do componente (ST+AC+AP) vs. (PM+T):
\[ \hat{Y_1}=2\hat{T_1}+2\hat{T_2}+2\hat{T_3}-3\hat{T_4}-3\hat{T_5} \\ \hat{Y_1}=2\cdot115,74+2\cdot117,54+2\cdot120,75-3\cdot85,88-3\cdot91,95\\ \hat{Y_1}=174,63\;cm\\ \sum_{i=1}^Ic_i^2=2^2+2^2+2^2+(-3)^2+(-3)^2=30\:\:\:\:\:e\:\:\:\:r=5 \]
Então, temos:
\[ SQY_1=\frac{\hat{Y_1^2}}{r\sum_{i=1}^Ic_i^2}=\frac{174,63^2}{5\cdot30}=203,3042 \]
b) Cálculo da soma de quadrados do componente ST vs. (AC+AP):
\[ \hat{Y_2}=2\hat{T_1}-\hat{T_2}-\hat{T_3} \\ \hat{Y_2}=2\cdot115,74-117,54-120,75\\ \hat{Y_2}=-6,81\;cm\\ \sum_{i=1}^Ic_i^2=2^2+(-1)^2+(-1)^2=6\:\:\:\:\:e\:\:\:\:r=5 \]
Então, temos:
\[ SQY_2=\frac{\hat{Y_2^2}}{r\sum_{i=1}^Ic_i^2}=\frac{(-6,81)^2}{5\cdot6}=1,5459 \]
c) Cálculo da soma de quadrados do componente AC vs. AP:
\[ \hat{Y_3}=\hat{T_2}-\hat{T_3} \\ \hat{Y_3}=117,54-120,75\\ \hat{Y_3}=-3,21\;cm\\ \sum_{i=1}^Ic_i^2=1^2+(-1)^2=2\:\:\:\:\:e\:\:\:\:r=5 \]
Então, temos:
\[ SQY_3=\frac{\hat{Y_3^2}}{r\sum_{i=1}^Ic_i^2}=\frac{(-3,21)^2}{5\cdot2}=1,0304 \]
d) Cálculo da soma de quadrados do componente PM vs. T:
\[ \hat{Y_4}=\hat{T_4}-\hat{T_5} \\ \hat{Y_4}=85,88-91,95\\ \hat{Y_4}=-6,05\;cm\\ \sum_{i=1}^Ic_i^2=1^2+(-1)^2=2\:\:\:\:\:e\:\:\:\:r=5 \]
Então, temos:
\[ SQY_4=\frac{\hat{Y_4^2}}{r\sum_{i=1}^Ic_i^2}=\frac{(-6,05)^2}{5\cdot2}=3,6603 \]
VERIFICAÇÃO:
\[ SQY_1+SQY_2+SQY_3+SQY_4=SQ_{Trat} \\ 203,3042+1,5459+1,0304+3,6603=209,5808 \]
6.2.2. MÉTODO DOS TOTAIS DE TRATAMENTOS (SEM UTILIZAR CONTRASTES)
Embora a técnica do desdobramento seja baseada em contrastes ortogonais, para o cálculo das somas de quadrados dos componentes do desdobramento por este método, necessitamos apenas conhecer os totais de tratamentos e o número de parcelas somadas para obter cada total de tratamento, não nos preocupando em utilizar os contrastes.
Assim, para uma comparação qualquer, por exemplo:
Grupo A vs. Grupo B,
necessitamos apenas conhecer os totais de cada grupo (\(T_A\) e \(T_B\)) e o número de parcelas somadas para obter estes totais (\(n_A\) e \(n_B\)).
então temos: \[ \frac{\begin{cases} Total\;do\;grupo\;A=T_A\;(n_a\;parcelas) \\ Total\;do\;grupo\;B=T_B\;(n_B\;parcelas) \end{cases}} {Total(A+B)=(T_A+T_B)\;(n_A+n_b \;parcelas)} \]
a soma de quadrados correspondente será calculada por:
\[ SQ_{A\;vs.\;B}=\frac{T_A^2}{n_A}+\frac{T_B^2}{n_B}-\frac{(T_A+T_B)^2}{(n_A+n_B)} \]
No nosso Exemplo, temos:
a) Cálculo da soma de quadrados do componente (ST+AC+AP) vs. (PM+T):
\[ \frac{\begin{cases} Total\;do\;grupo\;(ST+AC+AP)=354,03\;(15\;parcelas) \\ Total\;do\;grupo\;(PM+T)=177,81\;(10\;parcelas) \end{cases}} {Total=531,84\;(25\;parcelas)} \]
Então, temos:
\[ SQ_{(ST+AC+AP)\;vs.\;(PM+T)}=\frac{354,03^2}{15}+\frac{177,81^2}{10}-\frac{531,84^2}{25}=203,3042 \]
b) Cálculo da soma de quadrados do componente ST vs. (AC+AP):
\[ \frac{\begin{cases} Total\;do\;grupo\;ST=115,74\;(5\;parcelas) \\ Total\;do\;grupo\;(AC+AP)=238,29\;(10\;parcelas) \end{cases}} {Total=354,03\;(15\;parcelas)} \]
Então, temos:
\[ SQ_{ST\;vs.\;(AC+AP)}=\frac{115,74^2}{5}+\frac{238,29^2}{10}-\frac{354,03^2}{15}=1,5459 \]
c) Cálculo da soma de quadrados do componente AC vs. AP:
\[ \frac{\begin{cases} Total\;do\;grupo\;AC=117,54\;(5\;parcelas) \\ Total\;do\;grupo\;AP=120,75\;(5\;parcelas) \end{cases}} {Total=238,29\;(10\;parcelas)} \]
Então, temos:
\[ SQ_{AC\;vs.\;AP}=\frac{117,54^2}{5}+\frac{120,75^2}{5}-\frac{238,29^2}{10}=1,0304 \]
d) Cálculo da soma de quadrados do componente PM vs. T:
\[ \frac{\begin{cases} Total\;do\;grupo\;PM=85,88\;(5\;parcelas) \\ Total\;do\;grupo\;T=91,93\;(5\;parcelas) \end{cases}} {Total=177,81\;(10\;parcelas)} \]
Então, temos:
\[ SQ_{PM\;vs.\;T}=\frac{85,88^2}{5}+\frac{91,93^2}{5}-\frac{177,81^2}{10}=3,6603 \]
6.2.3. ANÁLISE DE VARIÂNCIA COM DESDOBRAMENTO DOS GRAUS DE LIBERDADE DE TRATAMENTOS
Uma vez obtidas as somas de quadrados, para cada componente do desdobramento, por qualquer dos dois métodos apresentados anteriormente, podemos montar o quadro de análise de variância com o desdobramento:
| Causas.de.Variação | GL | SQ | QM | F |
|---|---|---|---|---|
| (ST+AC+AP) vs. (PM+T) | 1 | 203,3042 | 203,3042 | 17,11** |
| ST vs. (AC+AP) | 1 | 1,5459 | 1,5459 | 0,13 |
| AC vs AP | 1 | 1,0304 | 1,0304 | 0,09 |
| PM vs. T | 1 | 3,6603 | 3,6603 | 0,31 |
| (Tratamento) |
|
(209,5408) | – | – |
| Resíduo | 20 | 237,5958 | 11,8798 | – |
| Total | 24 | 447,1366 | – | – |
Valores de F da tabela para (1 x 20 GL):\(\begin{cases} 5\%=4.35 \\ 1\%=8.10 \end{cases}\)
Verificação: \(\frac{17,11+0,13+0,09+0,31}{4}=4,41=F_{Trat}\)
Conclusões
1. Para componente (ST+AC+AP) vs. (PM+T): O teste F foi significativo ao nível de \(1\%\) de probabilidade, indicando que devemos rejeitar \(H_0\) e concluir que o grupo de tratamentos (ST+AC+AP) difere do grupo (PM+T) em relação à altura média de mudas de Eucalyptus, com grau de confiança superior a \(99\%\) de probabilidade.
2. Para componente ST vs. (AC+AP): O teste F não foi significativo ao nível de \(5\%\) de probabilidade, indicando que não devemos rejeitar \(H_0\) e concluir que o grupo de tratamentos (ST) não difere do grupo (AC+AP) em relação à altura média de mudas de Eucalyptus.
3. Para componente AC vs. AP: O teste F não foi significativo ao nível de \(5\%\) de probabilidade, indicando que não devemos rejeitar \(H_0\) e concluir que o grupo de tratamentos (AC) não difere do grupo (AP) em relação à altura média de mudas de Eucalyptus.
4. Para componente PM vs. T: O teste F não foi significativo ao nível de \(5\%\) de probabilidade, indicando que não devemos rejeitar \(H_0\) e concluir que o grupo de tratamentos (PM) não difere do grupo (T) em relação à altura média de mudas de Eucalyptus.
Cálculo do Coeficiente de Variação do experimento:
\[ \hat{m} = \frac{G}{IJ} = \frac{531,84}{5\cdot5} = 21,27\;cm \\ s = \sqrt{QM_{Res}}=\sqrt{11,8798}=3,45\;cm\\ \]
Portanto: \[ CV=100\cdot \frac{s}{\hat{m}} = 100\cdot \frac{3,45}{21,27}=16,22\% \]
Resolvendo no R
# Caminho dos dados
caminho<-"https://raw.githubusercontent.com/arpanosso/ExpAgr_2020/master/dados/eucalyptus.txt"
# Carregando os dados no programa
dados<-read.table(caminho,h=T,sep="\t")
#Extraindo o fator tratamento e a variável resposta
trat<-as.factor(dados$TRAT)
y<-dados$Y
# definindo o modelo para a análise de variância preliminar
modelo<-aov(y~trat)
#Quadro da análise de variância preliminar
anova(modelo)## Analysis of Variance Table
##
## Response: y
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## trat 4 209.54 52.385 4.4096 0.01021 *
## Residuals 20 237.60 11.880
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1# Os coeficientes do contraste devem ser atribuídos de acordo com a ordem dos tratamentos definidos por:
levels(trat)## [1] "1_ST" "2_AC" "3_AP" "4_PM" "5_T"#Então os contrastes serão:
contrastes<-cbind(
c(2,2,2,-3,-3),
c(2,-1,-1,0,0),
c(0,1,-1,0,0),
c(0,0,0,1,-1)
)
#Visualização dos contrastes
contrastes## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] 2 2 0 0
## [2,] 2 -1 1 0
## [3,] 2 -1 -1 0
## [4,] -3 0 0 1
## [5,] -3 0 0 -1#Atribuição dos contrastes ao fator trat
contrasts(trat)<-contrastes
#Verificação dos contrastes
contrasts(trat)## [,1] [,2] [,3] [,4]
## 1_ST 2 2 0 0
## 2_AC 2 -1 1 0
## 3_AP 2 -1 -1 0
## 4_PM -3 0 0 1
## 5_T -3 0 0 -1#Definição do novo modelo para o desdobramento dos graus de liberdade
modelo.contrastes<-aov(y~trat)
#Desdobramento dos graus de Liberdade
summary(modelo.contrastes,
split= list(trat=
list("(ST+AC+AP) vs. (PM+T)"= 1,
"ST vs. (AC+AP)"= 2,
"AC vs. AP"= 3,
"PM vs T"= 4)))## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## trat 4 209.54 52.39 4.410 0.010205 *
## trat: (ST+AC+AP) vs. (PM+T) 1 203.30 203.30 17.113 0.000511 ***
## trat: ST vs. (AC+AP) 1 1.55 1.55 0.130 0.722083
## trat: AC vs. AP 1 1.03 1.03 0.087 0.771403
## trat: PM vs T 1 3.66 3.66 0.308 0.584999
## Residuals 20 237.60 11.88
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1# Coeficiente de variação do ensaio
media<-mean(y)
QMres<-deviance(modelo)/df.residual(modelo)
CV<-100*sqrt(QMres)/media
paste(round(CV,2),"%",sep="")## [1] "16.2%"6.2.4. COMPONENTES COM MAIS DE UM GRAU DE LIBERDADE
Em alguns casos, o experimentador pode estar interessado em realizar um desdobramento incompleto, como o seguinte:
1 - Inoculados (ST+AC+AP) vs. Testemunhas (PM+T)……….1 GL
2 - Entre inoculados (ST, AC, AP)………………………………2 GL
3 - Entre Testemunhas (PM vs. T)………………………………1 GL
Nesse caso, a soma de quadrados correspondente ao componente com mais do que 1 grau de liberdade pode ser calculada pelo método dos totais de tratamentos, da seguinte maneira:
\[ \frac{\begin{cases} Total\;de\;ST=115,74\;(5\;parcelas) \\ Total\;de\;AC=117,54\;(5\;parcelas) \\ Total\;de\;AP=120,75\;(5\;parcelas) \\ \end{cases}} {Total=354.03\;(15\;parcelas)} \]
Então, temos:
\[ SQ_{(Entre\;Inoculantes)}=\frac{115,74^2}{5}+\frac{117,54^2}{5}+\frac{120,75^2}{5}-\frac{354,03^2}{15}=2,5763 \]
Assim, podemos montar o seguinte quadro de análise de variância:
| Causas.de.Variação | GL | SQ | QM | F |
|---|---|---|---|---|
| (ST+AC+AP) vs. (PM+T) | 1 | 203,3042 | 203,3042 | 17,11** |
| Entre Inoculantes (ST, AC, AP) | 2 | 2,5763 | 1,2882 | 0,11 |
| PM vs. T | 1 | 3,6603 | 3,6603 | 0,31 |
| (Tratamento) | 4 | (209,5408) | – | – |
| Resíduo | 20 | 237,5958 | 11,8798 | – |
| Total | 24 | 447,1366 | – | – |
# Criando, novamente o fator tratamento.
trat<-as.factor(dados$TRAT)
contrasts(trat)## 2_AC 3_AP 4_PM 5_T
## 1_ST 0 0 0 0
## 2_AC 1 0 0 0
## 3_AP 0 1 0 0
## 4_PM 0 0 1 0
## 5_T 0 0 0 1#Então os contrastes serão:
contrastes<-cbind(
c(2,2,2,-3,-3),
c(0,1,0,0,0),
c(0,0,1,0,0),
c(0,0,0,1,-1)
)
#Atribuição dos contrastes ao fator trat
contrasts(trat)<-contrastes
#Verificação dos contrastes
contrasts(trat)## [,1] [,2] [,3] [,4]
## 1_ST 2 0 0 0
## 2_AC 2 1 0 0
## 3_AP 2 0 1 0
## 4_PM -3 0 0 1
## 5_T -3 0 0 -1#Definição do novo modelo para o desdobramento dos graus de liberdade
modelo.contrastes<-aov(y~trat)
#Desdobramento dos graus de Liberdade
summary(modelo.contrastes,
split= list(trat=
list("(ST+AC+AP) vs. (PM+T)"= 1,
"Entre Inoculantes (AC, AP, ST)"= c(2,3),
"PM vs T"= 4)))## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## trat 4 209.54 52.39 4.410 0.010205 *
## trat: (ST+AC+AP) vs. (PM+T) 1 203.30 203.30 17.113 0.000511 ***
## trat: Entre Inoculantes (AC, AP, ST) 2 2.58 1.29 0.108 0.897764
## trat: PM vs T 1 3.66 3.66 0.308 0.584999
## Residuals 20 237.60 11.88
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1