Estatística e Informática

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# Estatística e Informática
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.subtitle[
## Aula 11 - Testes de Hipótese
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.author[
### Alan Rodrigo Panosso <a href="mailto:alan.panosso@unesp.br" class="email">alan.panosso@unesp.br</a>
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.institute[
### Departamento de Ciências Exatas FCAV/UNESP
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.date[
### (23-05-2024)
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# Teste de Hipótese

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## Teste de Hipótese

**Objetivo**: decidir se uma afirmação, em geral, sobre **parâmetros** de uma ou mais populações é, ou não verdadeira, apoiado por evidências obtida de dados amostrais.

Tal afirmação é o que se chama **Hipótese Estatística** e a regra usada para decidir se ela é verdadeira ou não, é o **Teste de Hipóteses**.

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**Exemplo 1**.  Uma suinocultura usa uma ração `\(A\)` que propicia, da desmama até a idade de abate, um ganho em peso de `\(500 g/dia/suíno\)` `\((\sigma = 25 g)\)`.  O fabricante de uma ração `\(B\)` afirma que nas mesmas condições, sua ração propicia um ganho de `\(510 g/dia/suíno\)` `\((\sigma = 25 g/dia/suíno)\)`.

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Considerando a amostra de `\(50\)` leitões, aos quais foi fornecida a nova ração `\((B)\)`, deve-se ou não adotar essa ração, admitindo-se como resultado um ganho em peso médio diário de `\(504 g/dia/suíno\)` `\(( \bar{X})\)`, fixando-se `\(\alpha= 5\%\)`.

<img src="Aula11_files/figure-html/unnamed-chunk-2-1.png" style="display: block; margin: auto;" />
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### Hipóteses estatísticas

Utilizadas em experimentos comparativos, nos quais um novo produto ou nova técnica é comparado com o padrão, para determinar se sua superioridade pode ser corroborada pela evidência experimental.

**Hipótese nula `\((H_0)\)`:** é a hipótese de igualdade entre o novo e o produto padrão, ou seja, a designação "hipótese nula" decorre da suposição que a diferença entre eles é nula ou zero.

**Hipótese alternativa `\((H_1)\)`:** deve ser tomada como verdadeira caso a hipótese da nulidade seja descartada.

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### Estatística teste

Para a tomada de decisão, deve-se extrair uma amostra aleatória (por exemplo, `\(n = 50\)` ). Calcula-se a média amostral `\(\bar{x}_a\)` do, no exemplo, ganho de peso diário no período.

Se `\(\bar{x}_a\)` estiver próxima de `\(500\;g\)`, **não se deve rejeitar `\(H_0\)`**, e a **conclusão** será que a ração do tipo `\(B\)` é *estatisticamente* igual à ração do tipo `\(A\)`.

Se `\(\bar{x}_a\)` estiver próxima ou for superior à `\(500\;g\)`, **rejeita-se `\(H_0\)` em favor a `\(H_1\)`** e a **conclusão**  será que a ração do tipo `\(B\)` é superior à do tipo `\(A\)`, tal resultado implica no fato de que a suinocultura poderá utilizá-la.

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### Critério de decisão

Para aceitar ou rejeitar `\(H_0\)`, determina-se um valor `\(k\)` (ponto) entre `\(500\)` e `\(510 \;g\)`, chamado valor crítico, `\(\bar{x}_c\)`.

O procedimento do teste, então, divide os possíveis valores da estatística teste em dois subconjuntos: uma região de aceitação e uma de rejeição para `\(H_0\)`, o que pode levar a dois tipos de erros.

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Por exemplo, se o verdadeiro valor do parâmetro `\(\mu\)` é `\(500\;g\)` e incorretamente concluímos que `\(\mu = 510\;g\)`, cometeremos um erro referido como **ERRO TIPO I (falso positivo)**.

Por outro lado, se o verdadeiro valor de `\(\mu\)` é `\(510\;g\)` e incorretamente concluímos  que `\(\mu = 500 \;g\)`, cometeremos uma segunda espécie de erro, referido como **ERRO TIPO II (falso negativo)**.

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## Erros tipo I e II

| Situação específica | na População
---|---:|:---|
Conclusão do Teste | `\(H_0\)` verdadeira | `\(H_0\)` falsa
Não Rejeita `\(H_0\)` | Decisão correta | Erro tipo II (perdas potenciais)
Rejeitar `\(H_0\)` | Erro tipo I (perdas reais) | Decisão Correta

`\(\alpha = P \text{(erro tipo I)}\)` = `\(P\)`(Rejeitar `\(H_0|H_0\)` é verdadeira) = **nível de significância** `\((10\%, 5\% \text{ ou } 1\%)\)`.

`\(\beta = P \text{(erro tipo II)}\)` = `\(P\)`(Não rejeitar `\(H_0|H_0\)` é falsa) = **poder do teste** dado por `\(1-\beta\)`.

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<img src="https://raw.githubusercontent.com/arpanosso/estatinfo/master/slides/img/testeH_04.png" width="110%" style="display: block; margin: auto;" />
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## Passos para a construção de um teste de hipóteses

a) Fixe a hipótese `\(H_0\)`  a ser testada e a alternativa `\(H_1\)`;
 
b) Use a teoria estatística e as informações disponíveis para decidir qual estatística (estimador) será usada para testar a hipótese `\(H_0\)`, obtendo-se suas propriedades (distribuição, estimativa, erro padrão);
 
c) Fixe a probabilidade `\(\alpha\)` de cometer o **erro tipo I** e use este valor para construir a `\(RC\)` (região crítica). Lembre-se que a `\(RC\)` é construída para a estatística definida no passo **(a)**, usando os valores hipotetizados por `\(H_0\)`;

d) Use as informações da amostra para calcular o valor da estatística do teste;

e) Se o valor da estatística calculado com os dados da amostra não pertencer à `\(RC\)`, não rejeitamos `\(H_0\)`; caso contrário, rejeita-se `\(H_0\)`.

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<img src="https://raw.githubusercontent.com/arpanosso/estatinfo/master/slides/img/testeH_07.png" width="90%" style="display: block; margin: auto;" />
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class: middle, center, inverse

# Teste sobre a média de uma população com variância conhecida

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[Tabela - Normal Padrão](https://github.com/arpanosso/estatinfo/raw/master/docs/TabelaNormalPadrao.pdf)

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# Teste para a Proporção binomial (p)

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<img src="https://raw.githubusercontent.com/arpanosso/estatinfo/master/slides/img/testeH_12.png" width="110%" style="display: block; margin: auto;" />
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**Exemplo 3**. Um laboratório de vacinas contra febre aftosa afirmou que ela imuniza `\(90\%\)` dos animais.  Em uma amostra de `\(200\)` animais, nos quais foram aplicados a vacina, `\(160\)` foram imunizados. Verificar se a declaração do fabricante é verdadeira ao nível de `\(5\%\)`.

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class: middle, center, inverse

# Test t de Student

## Teste para a média de uma população normal com `\(\sigma^2\)` desconhecido

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**Exemplo 4**. As especificações de um dado medicamento veterinário exigem `\(23,2\)` g de álcool etílico em sua composição. Uma amostra de `\(10\)` análises do produto apresentou um teor médio de álcool de `\(23,5\)` g com desvio padrão de `\(0,24\)` g.

Com base nessa amostra, pode-se concluir, ao nível de significância de `\(1\%\)`, que o produto satisfaz as condições exigidas `\((\mu = 23,2 \text{ g })\)` ?

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[Tabela - Distribuição t-Student](https://github.com/arpanosso/estatinfo/raw/master/docs/Tabela_tdeStudent.pdf)

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